# 特征值、特征向量、特征多项式

# 特征值与特征向量

定义：对于矩阵 $A$，若存在常数 $k$ 和非零向量 $\vec v$，满足 $A\vec v=k\vec v$，则称 $k$ 为 $A$ 的特征值之一，$v$ 为 $A$ 关于 $k$ 的特征向量。
- 例如，$\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \cr 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cr 8 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \cr 4 \end{pmatrix}$，因此矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 2 & 1 \end{pmatrix}$ 有特征值 2，其对应的特征向量为 $\begin{pmatrix} 2 \cr 4 \end{pmatrix}$（或者它的任意非零倍数）。
定理：方阵可逆，当且仅当它没有零特征值。
- 证明：若方阵 $A$ 拥有特征值 $0$，则一定存在非零向量 $\vec v$ 满足 $A\vec v=\vec 0$，故矩阵 $A$ 不可逆。
- 反之，若方阵 $A$ 没有零特征值，则其零空间的维数 $N()